Descripción y análisis de un caso de enseñanza y aprendizaje de la demostración en una comunidad de práctica de futuros profesores de matemáticas de educación secundaria.

Abstract

El propósito de la investigación es analizar el aprendizaje de la demostración matemática de un grupo de estudiantes de un curso universitario de geometría plana, de un programa de formación de profesores, en el cual se llevó a cabo una instrucción experimental en la que se pretendía lograr la conformación de una comunidad de práctica. El marco teórico se circunscribe a la teoría de la práctica social propuesta por Wenger. En tal sentido, caracterizamos el aprendizaje como sinónimo de participación en la actividad demostrativa que se despliega para construir colectivamente, profesora y estudiantes, una porción de un sistema axiomático. Junto con la materialización de dicha práctica en un conjunto de postulados, definiciones y teoremas, que se constituyen en el producto de la comunidad, dicha práctica da sentido a la demostración y favorece el aprendizaje. Con la expresión ‘actividad demostrativa’ nos referimos a un repertorio de acciones en las que se involucran los estudiantes tales como explorar, definir, argumentar, demostrar y sistematizar que determinan un estilo propio de actuación en la comunidad. Con la expresión ‘demostración matemática’ nos referimos a un discurso que respeta ciertas reglas, fundamentado en un sistema teórico de referencia, mediante el cual se da validez a los enunciados al interior de la teoría. Para ello, se establece una cadena deductiva de afirmaciones que lleva desde el antecedente de cada enunciado al consecuente de éste. Como los principios y reglas de construcción que rigen la construcción del discurso son establecidos por grupos humanos específicos, decimos que la demostración es de naturaleza social y nos concentramos en analizar el aprendizaje de un grupo de estudiantes y no el aprendizaje individual. El estudio investigativo se caracteriza como un experimento de enseñanza interdependiente con una instrucción experimental. Las trascripciones de las interacciones verbales entre la profesora y los estudiantes se constituyen en la materia prima para hacer el análisis. Mediante un proceso de codificación emergente simultáneo con la reducción de información para extraer un conjunto de fragmentos de clase con el cual hacer el análisis, damos cuenta de las finalidades de participación de los estudiantes en la actividad demostrativa y de la evolución de dicha participación. Los resultados del estudio muestran que los estudiantes se distribuyeron a lo largo de una línea de participación incluyente: periférica legítima, legítima y plena; este hecho es propio de una comunidad de práctica. Aún aquellos cuya participación fue siempre periférica legítima aprendieron a desenvolverse en una práctica, en colaboración con otros, y probablemente llevarán este aprendizaje a otras comunidades. Adicionalmente, el estudio pone de presente asuntos determinantes del aprendizaje de la demostración, hasta ahora poco explorados, tales como el papel de la exploración en la negociación de las definiciones que se acuerdan en el curso, la dificultad que se tiene para que los estudiantes propongan conjeturas precisas, claras y correctas en donde sea explícita la estructura condicional, las exigencias sociales que medían la producción de demostraciones y las normas sociales como una vía para establecer una relación directa entre explorar y demostrar. También señala algunas tensiones en las que se ve envuelto el profesor cuando decide hacer de su clase universitaria una comunidad de práctica tales como tomar decisiones sobre la marcha u organizar el curso a partir de las ideas propuestas por los estudiantes pero a la vez estar atenta a la práctica matemática de referencia. La tesis invita a virar la mirada, que usualmente ha privilegiado análisis cognitivos sobre el aprendizaje de la demostración, para centrarnos en las relaciones entre la mente, las situaciones sociales en las que el conocimiento ocurre y los recursos que la cultura provee como apoyo.

The purpose of this research is to analyze the process of learning mathematical demonstration, in a sample of planar geometry undergraduate students, subscribed on a math program in the Education School. A consistent experimental instruction was administered in order to construct a practice community. The theoretical framework was mainly based on Wenger’s theory of social practice. We characterized learning as participation in the demonstrative activity, which is essential to being able to collectively construct a portion of an axiomatic system. The product consists on a set of postulates, definitions and theorems that, together, give sense to the demonstration and encourage learning. By ‘demonstrative activity’, we refer to the actions that require students’ involvement, such as exploring, defining, arguing, demonstrating and systematizing. Demonstrative activity represent a unique type of interaction with the community. The principles and rules which build up the process of demonstration are established by particular human groups. Hence, demonstration is a process of social nature; and we therefore decide to focus in analyzing this kind of learning in a specific students group. The present research is conceived as a learning experience interrelated with an experimental instruction trial. Transcriptions from verbal interactions constitute the main analytical material. Through an emergent coding process, and a parallel extraction of critical class moments, we recognized the actions of the students’ participation in the demonstrative activity. We later analyzed the evolution of such participation and determined the basis of the conformation of the practice community. The current study sets an antecedent for mathematical demonstration learning areas; such is the case of social requirements that measure the production of demonstrations, and relations between exploring and demonstrating activities. It also points out the conflicts faced by a professor when he decides to go from a traditional university class to the formation of a practice community.