Aportaciones a la representabilidad de juegos simples y al cálculo de soluciones de esta clase de juegos

Abstract

La memoria está enmarcada en el contexto de la Teoría de Juegos Simples, aunque varios de los resultados obtenidos pueden ser trasladados a campos como la Electrónica o Fiabilidad de Sistemas. Está estructurada en cinco capítulos. El primero de ellos es un resumen de los principales resultados necesarios para el seguimiento del trabajo.<br/><br/>Partiendo de los resultados obtenidos por Hu en el campo de la Electrónica, en el 2º capítulo determinamos el máximo porcentaje permitido en la variación de los pesos y la cuota de una representación estricta de un juego de mayoría ponderada que hace que el juego no cambie. Se mejoran los resultados existentes, a la vez que se definen los conceptos de amplitud, amplitud coalicional y amplitud coalicional con suma de pesos constante de representaciones estrictas de juegos de mayoría ponderada. Determinamos la cuota que hace que la amplitud sea máxima cuando los pesos están fijados.<br/><br/>En el capítulo tercero partimos de los resultados obtenidos por Carreras y Freixas en el estudio y caracterización de los juegos simples completos, para definir y caracterizar los juegos completos con mínimo. A partir de la relación de desplazamiento y, teniendo en cuenta que a jugadores indiferentes les corresponde el mismo vector de pago, consideramos el vector normalizado del nucleolo y lo obtenemos como solución de un sistema determinado de ecuaciones.<br/>Dado que en un juego completo sin clases triviales el núcleo y el pre-núcleo coinciden y que ambos respetan la relación de desplazamiento, podemos definir el núcleo maximal de un juego completo y caracterizar su maximalidad en función de los jugadores con veto y de los jugadores nulos.<br/>Proporcionamos un método para calcular los semivalores, que es suficiente realizarlo para cada I-clase, puesto que jugadores indiferentes tienen asociado el mismo semivalor, y a su vez, el semivalor de una I-clase está definido aditivamente a partir de los semivalores individuales.<br/><br/>El cuarto capítulo está dedicado al cálculo de la dimensión de ciertos juegos simples. En el primer bloque determinamos la dimensión de los juegos completos con mínimo. Como consecuencia inmediata de este resultado se deduce que para todo natural, n, existe un juego completo (con mínimo) cuya dimensión es n. Este hecho demuestra que la complejidad de la dimensión del juego no está directamente relacionada con que la relación de desplazamiento sea total.<br/>En el segundo bloque se establecen de nuevo conexiones con la Fiabilidad. Las dos clases de juegos que estudiamos aquí pueden interpretarse como un caso particular de los juegos simples compuestos, y que denominamos composición de juegos de unanimidad vía individualismo y composición de juegos individualistas vía unanimidad. Ambos generan juegos simples de cualquier dimensión.<br/>La dimensión obtenida para composición de juegos de unanimidad vía individualismo nos permite generar juegos simples monótonos de dimensión exponencial y mejorar los resultados existentes<br/>En el capítulo quinto definimos y caracterizamos mediante coeficientes ponderados a los semivalores para juegos simples, estudiando su comportamiento ante una serie de postulados y paradojas. Estos coeficientes de ponderación nos permitirán definir los semivalores binomiales y calcularlos a partir de la extensión multilineal del juego. Este resultado podrá extenderse al resto de los semivalores teniendo en cuenta que todo semivalor es combinación lineal de n semivalores binomiales linealmente independientes. Finalmente presentamos una serie de aplicaciones de los semivalores a la Fiabilidad de Sistemas.