Complejidad de estructuras geométricas y combinatorias

Abstract

En la presente memoria, se abordan cuatro problemas, existiendo en todos ellos una gran interacción entre la combinatoria y la geometría. El primer problema que se estudia es la introducción de varias extensiones del concepto de tipo de orden para nubes de puntos. Concretamente, se introducen los tipos de orden circulares y triángulares, en las versiones orientada y no orientada. Se han demostrado resultados combinatorios análogos a resultados bien conocidos sobre tipos de orden ordinarios, introducidos por Goodman y Pollack como es el llamado Teorema de ordenación geométrica. Se ha estudiado también la información geométrica que proporciona cada uno de estos conceptos. El segundo problema estudia el empaquetamiento plano de grafos; esto es, el trazado de grafos, disjuntos en aristas, en el plano. Hemos obtenido varios resultados sobre el empaquetamiento plano de árboles y ciclos. Concretamente, para árboles que no sean estrellas, se ha demostrado que siempre admiten empaquetamiento plano: dos copias de un árbol cualquiera, un árbol cualquiera y un camino, un árbol cualquiera y un ciclo. También se han obtenido resultados sobre empaquetamiento plano de dos o tres ciclos. La principal herramienta que se ha utilizado es la representación de un árbol en un polígono convexo con propiedades muy concretas. En tercer lugar se estudia el grafo T (P) de árboles geométricos de una nube de puntos P, siendo este grafo el que tiene por vértices los árboles generadores sin cortes de P y dos de tales árboles T1, T2 son aduacentes si y sólo s, T2C=t1e+f para ciertas aristas e y f. Se han obtenido propiedades combinatorias de estos grafos, especialmente en el caso particular en que el conjunto de puntos esta en posición convexa. En este caso se ha determinado el centro, radio y grupo de automofismos de estos grafos, y demostrado que son hamiltonianos y de conectividad máxima. Finalmente, también se ha estudiado el grafo Mm de los emparejamientos perfectos sin cortes de una nube de 2m puntos en posición convexa. Entre los resultados obtenidos cabe destacar que se ha demostrado que Mm es bipartito, hamiltoniano sólo si m es par y que el diámetro de Mm es igual a m-1, siendo todos los emparejamientos de excentricidad máxima.