Deformations and representations of low dimensional non-orientable hyperbolic manifolds

Abstract

En aquesta tesi estenem diversos resultats coneguts sobre 3-varietats hiperbòliques i superfícies al cas no orientable i els comparem amb el seu equivalent orientable. En particular, ens centrem en el espai de deformacions de una 3-varietat hiperbòlica no orientable de volum finit, la competació métrica de dites deformacions i la varietat de representacions de l’ampolla de Klein i, més generalment, de qualsevol superfície tancada no orientable. Estem interessats en estudiar l’estructura local del espai de deformacions. Afrontem el tema des de dos punts de vista, per una banda mitjançat triangulacions ideals geomètriques i, per l’altra, per la varietat de representacions. Nostre principal resultat en aquesta qüestió es que, pel cas d’una cúspide no orientable, l’espai de deformacions d’una triangulació ideal es homeomorf a un interval semiobert, mentre que les deformacions de la representació son homemorfes a un interval obert de la recta real. Si considerem una cúspide orientable (de una varietat no orientable), aquesta discrepància ja no s’observa, i obtenim que el seu espai de deformacions es homeomorf a un obert de {C}. Les deformacions de cúspides no orientables estan relacionades amb distintes representacions de l’ampolla de Klein, a les que anomenem tipus I i tipus II. La completació del final es o bé una ampolla de Klein sòlida o bé un orbi-fibrat amb fibra un disc per respectives representacions de tipus I i II. Tanmateix, deformacions d’una triangulació ideal geomètrica només poden donar lloc a representacions de tipus I. Per altra banda, estudiem en profunditat la varietat de representacions de l’ampolla de Klein i, més generalment, calculem el número de components connexes de la varietat de representacions de qualsevol superfície tancada no orientable. Per la superfícies de gènera k, hi ha 2{k+1} components connexes, que es distingeixen per la primera i segona classe de Stiefel-Whitney del fibrat principal associat.

En esta tesis extendemos varios resultados conocidos sobre 3-variedades hiperbólicas y superficies al caso no orientable y los comparamos con su equivalente orientable. En particular, nos centramos en el espacio de deformaciones de una 3-variedad hiperbólica no orientable de volumen finito, la completación métrica de dichas deformaciones y la variedad de representaciones de la botella de Klein y, más generalmente, de cualquier superficie cerrada no orientable. Estamos interesados en estudiar la estructura local del espacio de deformaciones. Afrontamos el tema desde dos puntos de vista, por un lado mediante triangulaciones ideales geométricas y, por otro, por la variedad de representaciones. Nuestro principal resultado en esta cuestión es que, para el caso de una cúspide no orientable, el espacio de deformaciones de una triangulación ideal es homeomorfo a un intervalo semiabierto, mientras que las deformaciones de la representación son homeomorfas a un intervalo abierto de la recta real. Si consideramos una cúspide orientable (de una variedad no orientable), esta discrepancia ya no se observa, y obtenemos que su espacio de deformaciones es homeomorfo a un abierto de {C}. Las deformaciones de cúspides no orientables están relacionadas con distintas representaciones de la botella de Klein, a las que llamamos tipo I y tipo II. La completación del final es o bien una botella de Klein sólida o bien un orbi-fibrado con fibra un disco para respectivas representaciones de tipo I y II. Asimismo, deformaciones de una triangulación ideal geométrica solo pueden dar lugar a representaciones de tipo I. Por otro lado, estudiamos en profundidad la variedad de representaciones de la botella de Klein y, más generalmente, calculamos el número de componentes conexas de la variedad de representaciones de cualquier superficie cerrada no orientable. Para la superficie de género k, hay 2{k+1} componentes conexas, que se distinguen por la primera y segunda clase de Stiefel-Whitney del fibrado principal asociado.

In this work, we extend several known results on hyperbolic 3-manifolds and surfaces to the non-orientable case and compare them to its orientable counterpart. In particular, we focus on the deformation space of a non-orientable hyperbolic 3-manifold of finite volume, the metric completion of said deformations and the variety of representation of the Klein bottle and, more generally, of any closed non-orientable surface. We are interested in studying the local structure of the deformation space. We approach the subject through two sides, from geometric ideal triangulations and the variety of representations. Our main result on the topic is that, for the one non-orientable cusped case, the deformation space of an ideal triangulation is homeomorphic to a half-open interval whereas deformations of representations are homeomorphic to an open interval of the real line. If we consider an orientable cusp (in a non-orientable manifold), the discrepancy is no longer observed and we obtain that its deformations are homeomorphic to an open set of {C}. The deformations of non-orientable cusps are related to different representations of a Klein bottle which we call type I and II. The completion of the end is either a solid Klein bottle or disc orbi-bundle for respective representations of type I and II. Furthermore, deformations of a geometric ideal triangulation can only yield representations of type I. On the other hand, we study in depth the variety of representations of the Klein bottle and, more generally, we compute the number of connected components of the variety of representations of any closed non-orientable surfaces. For the surface of genus k, there are 2{k+1} connected components, which are distinguished by the first and second Stiefel-Whitney class of the associated principal bundle.