Contributions to the study of periodic orbits and invariant manifolds in dynamical systems

Abstract

Aquesta tesi tracta l’estudi de varietats invariants i òrbites periòdiques de sistemes dinàmics discrets i continus. La memòria està dividida en dues parts que es poden llegir de manera independent. La primera part (Capítols 1-6) està dedicada a l’estudi de varietats invariants associades a punts parabòlics i tors invariants parabòlics. A la segona part (Capítols 7-9) s’estudien les òrbites periòdiques de sistemes dinàmics en varietats.

En els capítols 2 i 3 estudiem l’existència i regularitat de varietats invariants d’aplicacions al pla amb un punt fix parabòlic amb part nilpotent utilitzant el mètode de la parametrització. L’estudi es fa per aplicacions analítiques i per aplicacions finitament diferenciables. En el cas analític, demostrem l’existència d’una varietat invariant analítica unidimensional imposant certes condicions en els coeficients dels termes no lineals de l’aplicació. En el cas diferenciable, demostrem que si la regularitat de l’apliació és més gran que un cert valor, aleshores existeix una varietat invariant de la mateixa regularitat, fora del punt fix.

En el capítol 4 considerem un problema anàleg al dels capítols 2 i 3, però per a camps vectorials al pla. Obtenim els resultats d’existència de corbes invariants d’aquests camps vectorials utilitzant els resultats dels capítols anteriors i el fet que, en condicions adequades, les varietats invariants d’un camp vectorial són les mateixes que les varietats invariants del seu flux a temps t.

En els capítols 5 i 6 considerem aplicacions i camps vectorials que tenen un tor invariant parabòlic amb part nilpotent de dimensió d. En aquest context, donem condicions sobre els coeficients dels termes no lineals de l’aplicació (resp. camp vectorial) pels quals el tor invariant té varietats invariants estables i inestables. També considerem el mateix problema per a camps vectorials no autònoms que depenen quasiperiòdicament del temps, i presentem algunes aplicacions dels resultats obtinguts.

Tots els resultats d’existència de varietats invariants s’obtenen en dos passos. En el primer pas presentem un algoritme per calcular una aproximació d’una parametrització de la varietat invariant. En el segon pas, presentem un resultat «a posteriori», que assegura que existeixi una varietat invariant veritable propera a aquesta aproximació. Combinant els dos resultats s’obté l’existència d’una varietat invariant que, a més, està ben aproximada per la parametrització calculada en el primer pas.

Al capítol 8 utilitzem els nombres de Lefschetz i la funció zeta de Lefschetz per obtenir informació sobre el conjunt de períodes d’alguns difeomorfismes en varietats compactes. Considerem la família de diffeomorfismes de Morse-Smale definits a l’esfera n-dimensional, als productes de dues esferes de dimensió arbitrària, a l’espai projectiu complex n-dimensional i a l’espai projectiu de quaternions n-dimensional. A continuació, descrivim el conjunt minimal de períodes de Lefschetz per a aquests difeomorfismes de Morse-Smale, que és un subconjunt del conjunt de períodes que es conserven sota l’equivalència d’homotopia.

Finalment, al capítol 9 estudiem l’existència de cicles límit de camps vectorials lineals en varietats. És ben sabut que els camps vectorials lineals a R^n no poden tenir cicles límit perquè o bé no tenen òrbites periòdiques, o bé les seves òrbites periòdiques formen un continu. En aquest capítol mostrem que els camps vectorials lineals definits en algunes varietats diferents de R^n poden tenir cicles límit i considerem la qüestió de quants cicles límit poden tenir com a màxim.

Esta tesis trata sobre el estudio de variedades invariantes y órbitas periódicas de sistemas dinámicos discretos y continuos. La memoria se divide en dos partes que se pueden leer de forma independiente. La primera parte (capítulos 1-6) está dedicada al estudio de variedades invariantes asociadas a puntos parabólicos y a toros invariantes parabólicos. En la segunda parte (capítulos 7-9) se estudian las órbitas periódicas de sistemas dinámicos en variedades.

En los capítulos 2 y 3 estudiamos la existencia y regularidad de variedades invariantes de aplicaciones en el plano con un punto fijo parabólico con parte nilpotente usando el método de la parametrización. El estudio se realiza para aplicaciones analíticas y para aplicaciones finitamente diferenciables. En el caso analítico, demostramos la existencia de una variedad invariante unidimensional analítica imponiendo ciertas condiciones a los coeficientes de los términos no lineales de la aplicación. En el caso diferenciable, demostramos que si la regularidad de la aplicación es mayor que un cierto valor, entonces existe una variedad invariante de la misma regularidad, lejos del punto fijo.

En el capítulo 4 consideramos un problema análogo al de los Capítulos 2 y 3, pero para campos vectoriales en el plano. Presentamos los resultados de existencia de curvas invariantes de dichos campos vectoriales utilizando los resultados de los capítulos anteriores y el hecho de que, en condiciones adecuadas, las variedades invariantes de un campo vectorial son las mismas que las variedades invariantes de su flujo en tiempo t.

En los capítulos 5 y 6 consideramos aplicaciones y campos vectoriales con un toro invariante parabólico con parte nilpotente de dimensión d. En este contexto, damos condiciones sobre los coeficientes de los términos no lineales de la aplicación (resp. campo vectorial) bajo los cuales el toro invariante posee variedades invariantes estables e inestables. También consideramos el mismo problema para campos vectoriales no autónomos que dependen cuasiperiódicamente del tiempo, y presentamos algunas aplicaciones de los resultados obtenidos.

Todos los resultados de existencia de variedades invariantes se obtienen en dos pasos. En el primer paso presentamos un algoritmo para calcular una aproximación de una parametrización de la variedad invariante. En el segundo paso, presentamos un resultado «a posteriori», que asegura que existe una variedad invariante verdadera cercana a esa aproximación. Combinando los dos resultados obtenemos la existencia de una variedad invariante que está bien aproximada por la parametrización calculada en el primer paso.

En el capítulo 8 usamos los números de Lefschetz y la función zeta de Lefschetz para obtener información sobre el conjunto de periodos de algunos difeomorfismos en variedades compactas. Consideramos la família de difeomorfismos de Morse-Smale definidos en la esfera n-dimensional, en productos de dos esferas de dimensión arbitraria, en el espacio proyectivo complejo n-dimensional y en el espacio proyectivo de cuaterniones n-dimensional. Luego, describimos el conjunto minimal de períodos de Lefschetz para estos difeomorfismos de Morse-Smale, que es un subconjunto del conjunto de períodos que se conservan bajo la equivalencia de homotopía.

Finalmente, en el capítulo 9 estudiamos la existencia de ciclos límite de campos vectoriales lineales en variedades. Es bien sabido que los campos vectoriales lineales en R^n no pueden tener ciclos límite porque o bien no tienen órbitas periódicas, o bien sus órbitas periódicas forman un continuo. En ese capítulo mostramos que los campos vectoriales lineales definidos en algunas variedades distintas de R^n pueden tener ciclos límite y consideramos la cuestión de cuántos ciclos límite pueden tener como máximo.

This thesis concerns the study of invariant manifolds and periodic orbits of discrete and continuous dynamical systems. The memoir is divided into two parts that can be read independently. The first part (Chapters 1-6) is dedicated to the study of invariant manifolds associated with parabolic points and parabolic invariant tori. The second part (Chapters 7-9) concerns the study of periodic orbits of dynamical systems on manifolds.

In Chapters 2 and 3 we study the existence and regularity of invariant manifolds of planar maps having a parabolic fixed point with nilpotent part using the parameterization method. The study is done for analytic maps and for finitely differentiable maps. In the analytic case, we prove the existence of an analytic one-dimensional invariant manifold under suitable conditions on the coefficients of the nonlinear terms of the map. In the differentiable case, we prove that if the regularity of the map is bigger than some value, then there exists an invariant manifold of the same regularity, away from the fixed point.

In Chapter 4 we consider an analogous problem as in Chapters 2 and 3, but for planar vector fields. We present the results of existence of invariant curves of such vector fields using the results from the previous chapters and the fact that, under suitable conditions, the invariant manifolds of a vector field are the same ones as the invariant manifolds of its time-t flow.

In Chapters 5 and 6 we consider maps and vector fields having a d-dimensional parabolic invariant torus with nilpotent part. In this context, we give conditions on the coefficients of the nonlinear terms of the map (resp. vector field) under which the invariant torus possesses stable and unstable invariant manifolds. We also consider the same problem for non-autonomous vector fields that depend quasiperiodically on time, and we present some applications of our results.

All the results of existence of invariant manifolds are stated in two steps. In the first step we present an algorithm to compute an approximation of a parameterization of the invariant manifold. In the second step, we present an «a posteriori» result, which ensures that there exists a true invariant manifold close to that approximation. Combining the two results we obtain the existence of an invariant manifold which is well approximated by the parameterization provided in the first step.

In Chapter 8 we use the Lefschetz numbers and the Lefschetz zeta function to obtain information on the set of periods of certain diffeomorphisms on compact manifolds. We consider the class of Morse-Smale diffeomorphisms defined on the n-dimensional sphere, on products of two spheres of arbitrary dimension, on the n-dimensional complex projective space, and on the n-dimensional quaternion projective space. Then, we describe the minimal sets of Lefschetz periods for such Morse-Smale diffeomorphisms, which is a subset of the set of periods that are preserved under homotopy equivalence.

Finally, in Chapter 9 we study the existence of limit cycles of linear vector fields on manifolds. It is well known that linear vector fields in R^n can not have limit cycles, because either they do not have periodic orbits or their periodic orbits form a continuum. In that chapter, we show that linear vector fields defined in some manifolds different from R^n can have limit cycles and we consider the question of how many limit cycles can they have at most.