A metric approach to the study of manifolds of positive scalar curvature

Abstract

Aquesta tesi està dedicada a la topologia i la geometria de les varietats riemannianes de curvatura escalar estrictament positiva. Per abordar el seu estudi hem adoptat un punt de vista mètric, concretament a través de dues generalitzacions mètriques de la noció de curvatura escalar estrictament positiva.

En primer lloc, ens centrem en la topologia de les 3-varietats riemannianes de curvatura escalar estrictament positiva, tot proporcionant una nova obstrucció a l'existència de mètriques riemannianes completes de curvatura escalar estrictament positiva per les 3-varietats no compactes. Concretament, demostrem que si una 3-varietat orientable M admet una mètrica riemanniana completa la curvatura escalar de la qual és estrictament positiva i decreix subquadràticament a l'infinit, aleshores M es descompon com una suma connexa (possiblement infinita) de varietats esfèriques i de sumands 𝕊^2 x 𝕊^1. Com a conseqüència, la varietat M admet una mètrica Riemanniana completa de curvatura escalar uniformement estrictament positiva, resolent parcialment una conjectura de Gromov. Aquest resultat constitueix una generalització d'un teorema de Gromov i Wang, tot utilitzant una aproximació al problema de natura diferent, basada en tècniques mètriques i topològiques. Més generalment, derivem la descomposició topològica sota una condició més general en termes dels discs d'emplenament de corbes tancades en el recobriment universal, basada en la noció de radi d'emplenament, sense cap hipòtesi addicional sobre la curvatura de la varietat. Així mateix, la taxa de decreixement de la curvatura escalar en el teorema de descomposició és òptima. En efecte, la varietat ℝ^2 x 𝕊^1 admet una mètrica riemanniana completa de curvatura escalar estrictament positiva amb un decreixement exactament quadràtic, però no es descompon com una suma connexa de varietats esfèriques i de productes 𝕊^2 x 𝕊^1.

Tot seguit, ens dediquem a explorar la noció de curvatura escalar macroscòpica i la seva relació amb la geometria sistòlica de les varietats. Més precisament, establim una versió macroscòpica d'una cèlebre desigualtat sistòlica deguda a Bray--Brendle--Neves sobre l'àrea de les 2-esferes no contràctils dins una varietat de curvatura escalar estrictament positiva. Demostrem que si una n-varietat riemanniana completa amb una (n-1)-homologia amb coefficients a ℤ_2 o a ℤ no trivial té curvatura escalar macroscòpica estrictament positiva, aleshores la varietat conté una hipersuperfície no nul·la en homologia amb una (n-2)-amplada d'Urysohn petita. La prova d'aquest resultat es fonamenta en una adaptació d'una versió macroscòpica, deguda a Guth, de l'argument de descens de Schoen--Yau.

Esta tesis está dedicada a la topología y la geometría de las variedades riemannianas de curvatura escalar positiva. Para abordar la estructura de tales variedades, adoptamos una perspectiva métrica, específicamente a través de dos generalizaciones métricas de la noción de curvatura escalar positiva.

En primer lugar, nos centramos en la topología de las 3-variedades de curvatura escalar positiva, y proporcionamos una nueva obstrucción a la existencia de métricas riemannianas completas de curvatura escalar positiva en 3-variedades no compactas. Más precisamente, demostramos que si una 3-variedad orientable M admite una métrica riemanniana completa cuya curvatura escalar es estrictamente positiva y decrece subcuadráticamente en el infinito, entonces se descompone como una suma conexa (posiblemente infinita) de variedades esféricas y sumandos 𝕊^2 x 𝕊^1. Como consecuencia, la variedad M admite una métrica completa de curvatura escalar positiva uniformemente. Este resultado constituye una generalización de un teorema de Gromov y Wang, y su demostración se fundamenta en un enfoque diferente, utilizando técnicas métricas y topológicas. De manera más general, derivamos la descomposición topológica bajo una condición en términos de los discos de relleno de curvas cerradas en el recubrimiento universal, basada en la noción de radio de relleno, sin ninguna hipótesis adicional sobre la curvatura de la variedad. Asimismo, la tasa de decrecimiento de la curvatura escalar en el teorema de descomposición es óptima. En efecto, la variedad ℝ^2 x 𝕊^1 admite una métrica completa de curvatura escalar estrictamente positiva con un decrecimiento exactamente cuadrático, pero no se descompone como una suma conexa de variedades esféricas y de productos 𝕊^2 x 𝕊^1.

A continuación, nos dedicamos a explorar la noción de curvatura escalar macroscópica y su relación con la geometría sistólica de las variedades. Más precisamente, establecemos una versión macroscópica de una célebre desigualdad sistólica debida a Bray–Brendle–Neves sobre el área de las 2-esferas no contráctiles dentro de una variedad con curvatura escalar estrictamente positiva. Demostramos que si una variedad riemanniana completa de dimensión n, con una (n-1)-homología con coeficientes en ℤ_2 o en ℤ no trivial, posee curvatura escalar macroscópica estrictamente positiva, entonces la variedad contiene una hipersuperficie no nula en homología de pequeña (n-2)-anchura de Urysohn. La prueba de este resultado se basa en una adaptación de una versión macroscópica, debida a Guth, del argumento de descenso de Schoen–Yau.

This thesis is dedicated to the topology and the geometry of Riemannian manifolds of positive scalar curvature. To explore the structure of such manifolds, we adopt a metric perspective, specifically through two metric generalisations of the notion of positive scalar curvature.

First, we focus on the topology of 3-manifolds of positive scalar curvature, and we provide a new obstruction to the existence of complete Riemannian metrics of positive scalar curvature on non-compact 3-manifolds. More precisely, we prove that if an orientable 3-manifold M admits a complete Riemannian metric whose scalar curvature is positive and has a subquadratic decay at infinity, then it decomposes as a (possibly infinite) connected sum of spherical manifolds and 𝕊^2 x 𝕊^1 summands. As a consequence, the manifold M admits a complete metric of uniformly positive scalar curvature. This result constitutes a generalisation of a theorem by Gromov and Wang, and its proof builds upon a different approach of metric and topological nature. More generally, the topological decomposition holds without any assumption on the scalar curvature, relying instead on a metric estimate on the filling discs of closed curves in the universal cover, based in the notion of fill radius. Moreover, the decay rate in the decomposition theorem is optimal, since the manifold ℝ^2 x 𝕊^1 admits a complete metric of positive scalar curvature decaying exactly quadratically at infinity, yet it does not decompose as a connected sum of spherical manifolds and 𝕊^2 x 𝕊^1 summands.

Then, we explore the notion of macroscopic scalar curvature and its relation to the systolic geometry of a manifold. More precisely, we derive a macroscopic version of a celebrated systolic inequality by Bray-Brendle-Neves on the area of non-contractible 2-spheres in a manifold of positive scalar curvature. We show that if a complete Riemannian n-manifold with non-trivial codimension 1 homology with ℤ_2-coefficients or ℤ-coefficients has positive macroscopic scalar curvature, then it admits a non-nullhomologous hypersurface of small Urysohn (n-2)-widht. The proof of this result is based on an adaptation of Guth's macroscopic version of the Schoen-Yau descent argument.