A variety of optimization techniques applied in the context of quantum information theory

Abstract

(English) The thesis considers a number of optimisation techniques applied in the context of quantum information theory. After a pedagogical introduction of both quantum information theory and optimisation, it considers three main avenues of research. The first is the well-known foundational open problem of mutually unbiased bases, which consists of finding sets of orthonormal bases that are each unbiased with one another. More specifically, it remains unknown whether one can find a set of 4 mutually unbiased bases in dimension 6. A variety of optimisation techniques are applied, including non-linear semidefinite programming, see-saw optimisation, semidefinite programming relaxations, branch-and-cut, gradient descent methods and the method of Lagrange multipliers, each providing further insights into the problem. The second avenue is that of Bell nonlocality, more specifically attempting to simplify the hierarchy of semidefinite programs known as the NPA (Navascués-Pironio-Acín) hierarchy used to find bounds on the maximum quantum violation of Bell inequalities. For the case in which one has a large number of inputs per party, advantage in both memory and time versus state-of-the-art solvers is demonstrated using a combination several optimisation techniques. The third avenue is that of many-body quantum physics, which encompasses a wide range of topics. The thesis considers the problems of bounding expectation values of observables over the steady-states of open quantum systems, finding improved Fermion-to-qubit mappings and solving the graph colouring problem with a novel qudit-inspired optimisation algorithm. In each case, advantage versus comparable methods is demonstrated.

(Català) La tesi discorre sobre un nombre de tècniques d’optimització que poden aplicar-se en el context de la teoria de la informació quàntica. Després d’una introducció pedagògica tant de la teoria de la informació quàntica com de l’optimització, té en compte tres línies principals de recerca. En primer lloc, una de prou coneguda, el problema obert i fonamental de les bases mútuament imparcials, que consisteix en trobar conjunts de bases ortonormals que siguin imparcials entre si. En concret, encara es desconeix si hom pot trobar un conjunt de 4 bases mútuament imparcials amb la dimensió 6. S’hi apliquen diverses tècniques d’optimització, entre les quals hi ha la programació semidefinida no lineal, l’optimització cíclica, les relaxacions en programació semidefinida, el mètode Branch and cut, mètodes de gradient descendent i el mètode dels multiplicadors de Lagrange, i cadascuna aprofundeix amb noves perspectives al problema. La segona línia és la de la no localitat de Bell, en particular amb la intenció de simplificar la jerarquia de la programació semidefinida que rep el nom de jerarquia d'NPA (Navascués-Pironio-Acín), que s’utilitzen per trobar fites als valors que maximitzen quànticament la violació de les desigualtats de Bell. Pel cas en què hi ha un gran nombre d'entrades per cada part, es demostra l’avantatge tant en memòria com en temps envers els solucionadors més avançats utilitzant una combinació de diverses tècniques d’optimització. La tercera línia és la de la física quàntica de molts cossos, que abraça un ampli ventall de temes. La tesi considera els problemes de fitar els valors esperats dels observables en els estats estacionaris de sistemes quàntics oberts, per trobar millors aplicacions de fermions a qubits i resoldre el problema de coloració de grafs mitjançant un nou algorisme d’optimització inspirat en qudits. En cada cas, es demostra un avantatge respecte a mètodes comparables.

(Español) La tesis considera varias técnicas de optimización aplicadas en el contexto de la teoría de la información cuántica. Luego de una introducción pedagógica a la teoría de la información cuántica y a la optimización, se abordan tres líneas principales de investigación. La primera es el afamado problema abierto fundamental de las bases mutuamente insesgadas, que consiste en encontrar conjuntos de bases ortonormales que sean iinsesgadas entre sí. Más específicamente, aún se desconoce si es posible encontrar un conjunto de 4 bases mutuamente insesgadas en dimensión 6. Se aplican diversas técnicas de optimización, incluyendo programación semidefinida no lineal, optimización see-saw, relajaciones de programación semidefinida, branch-and-cut, métodos de descenso de gradiente y el método de los multiplicadores de Lagrange, que ofrecen nuevas perspectivas sobre el problema. La segunda línea de investigación se centra en la no localidad de Bell, y más concretamente, en la simplificación de la jerarquía de programas semidefinidos conocida como jerarquía NPA (Navascués-Pironio-Acín), utilizada para encontrar cotas sobre la máxima violación cuántica de las desigualdades de Bell. En el caso de un gran número de entradas por parte, se demuestra una ventaja tanto en memoria como en tiempo frente a los solucionadores más avanzados, combinando diversas técnicas de optimización. La tercera línea de investigación trata sobre la física cuántica de muchos cuerpos, un campo que abarca una amplia variedad de temas. La tesis considera los problemas de acotar los valores esperados de observables en los estados estacionarios de sistemas cuánticos abiertos, encontrar mejores mapeos de fermiones a cúbits y resolver el problema de coloreo de grafos mediante un novedoso algoritmo de optimización inspirado en qudits. En cada caso, se muestra una ventaja en comparación con métodos similares.